Parnaso

Razão espontânea

Na aula 20 do curso de filosofia, Olavo de Carvalho fala da diferença entre razão espontânea e razão refletida. Dá como exemplo de razão espontânea a percepção pré-analítica de um esquema probabilístico, como o resultado em um jogo de cartas. Digo pré-analítica porque o sujeito parece perceber quais são as alternativas mais vantajosas antes mesmo de considerar detidamente a formulação matemática do problema (os jogadores ficam com as palmas das mãos suadas sempre que optam pela alternativa mais arriscada). Apesar de a conclusão mais comum ser atribuir esse conhecimento à inconsciência, o Olavo objeta que esse tipo de conhecimento é tão consciente quanto as considerações matemáticas posteriores, sendo que estas últimas nos dão mais segurança apenas porque são criações dirigidas por nós mesmos, e não algo que nos chega diretamente da realidade.

O ponto que mais me interessa nessa discussão toda é, claro, como aperfeiçoar a razão espontânea. Alguém fez essa pergunta durante a aula e o Olavo aconselhou a simples abertura intelectual à realidade, a rejeição do senso-comum pré-fabricado etc. Parece mesmo difícil conceber uma maneira de treinar esse tipo de razão, tanto que, na faculdade, quando deparávamos com um exemplo de razão espontânea prodigiosa, atribuíamos o ocorrido à ‘inteligência’ do sujeito. Só posso dar exemplos da engenharia porque tenho muito pouca experiência com temas filosóficos.

Na faculdade de engenharia, a minha impressão era a de que todos os alunos tinham a faculdade de razão refletida mais ou menos equivalente; qualquer discrepância pontual era facilmente explicada por falta de estudo do assunto específico. Já a razão espontânea variava muito, especialmente em problemas de visualização geométrica. Enquanto alguns sofriam para projetar interseções de planos ou desenhar sólidos a partir de suas projeções, outros faziam-no automaticamente e sem precisar seguir o procedimento canônico (o procedimento na mais das vezes os atrapalhava).

Outro aspecto curioso da razão espontânea é que, além de distribuída desigualmente entre os seres humanos, ela parece ser heterogênea também dentro de cada um deles: enquanto alguns tinham-na desenvolvidíssima para a geometria descritiva e pífia para a álgebra linear, outros, que não podiam desenhar uma pirâmide a partir de suas projeções, intuíam a diagonalização de matrizes sem conhecimento prévio do procedimento.

Um dos meus melhores amigos da época era quase infalível em estimações aleatórias, como acertar a área superficial do continente africano ou do corpo humano, o peso dos livros em uma biblioteca ou o número de bolas de tênis necessárias para encher uma sala. Numa das vezes em que tentou melhorar a estimativa com cálculos, acabou piorando o número.

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Xarope necessário

Sempre que alguém afirma, eu incluso, que é nada menos que impossível modelar o planeta terra e sair fazendo previsões de temperatura para daqui a 50 anos, aparecem os prosélitos da Ciência Infalível citando esse ou aquele estudioso dessa ou daquela renomada universidade. Não fazem a mais mínima idéia do que estão falando, mas se um professor da UFbolinha lançou um artigo a respeito é porque deve ser verdade. Uma primeira maneira de desconfiar disso tudo é visitar a página do Centro de Previsão de Tempo e Estudos Climáticos, do INPE, o Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, aqui. Lá vocês podem ver que a probabilidade de chuva em Goiânia hoje, 25 de abril, é de 70%. Isso mesmo, colegas: os pesquisadores do INPE não sabem dizer com certeza se hoje chove em Goiânia.

Analisar a possibilidade de chuva hoje parece bem mais simples que prever a temperatura média mundial daqui a 1 ano, não? Basicamente tenho que verificar temperaturas, concentração e movimentação de nuvens e massas de ar, umidade relativa do ar etc. Muita gente hesita em duvidar da mecânica dos fluidos porque, ao que parece, as coisas funcionam perfeitamento por todos os lados: medidores de pressão, barragens, encanamentos d’água, prensas hidráulicas etc. Tampouco há o hábito de duvidar da disciplina de transferência de calor: nossos aparelhos de ar condicionado e climatizações em geral funcionam que é uma beleza. Isso porque o engenheiro é, ou deveria ser, como um cavaleiro do Zodíaco: não comete o mesmo erro duas vezes. Tudo o que pode ser empiricamente testado é cedo ou tarde absorvido; se queremos monitorar a queda de pressão numa tubulação de óleo, metemos um medidor lá e pronto. Quando se trata de fazer previsões teóricas, a situação é bem outra. Antes que me acusem de falar sem dar exemplos, como já fizeram, lá vai um (preparem-se, é a parte chata do post):

Vamos modelar o escoamento de um fluido qualquer no espaço. Aplicando a segunda lei de Newton a uma volume de controle do fluido (uma espécie de paralelepípedo imaginário que contém uma porção do fluido), e supondo que todas as forças envolvidas são ou de viscosidade, ou de diferença de pressão, ou de corpo (como a gravitacional ou a elétrica), chegamos às famosas equações de Navier-Stokes, escritas abaixo para as três direções cartesianas:




Nas equações acima, ‘rô’ é a densidade do fluido, suposta constante (que conveniente, não?), ‘u’, ‘v’ e ‘w’ são, respectivamente, as velocidades nas direções x, y e z de uma partícula qualquer do fluido, ‘p’ é a pressão, ‘mi’ é um coeficiente de viscosidade e os g’s são as gravidades relativas às forças de corpo em cada direção (se quisermos considerar apenas a força gravitacional, g = 0 para x e z e g = g para y). Trata-se de um sistema de equações diferenciais parciais não-homogêneas de segunda ordem (porque tem derivadas parciais de segunda ordem e o termo independente é não-nulo). Ele deve ser resolvido juntamente com a equação da continuidade (conservação da massa) e o que importa saber é que não há solução exata para ele. Vejam que mesmo depois de várias hipóteses simplificadoras (escoamento incompressível e laminar — a altas velocidades e com geometria propícia o escoamento torna-se turbulento e nem equações que não conseguimos resolver temos mais; ficamos soltos no campo do puramente empírico) chegamos a um sistema sem solução explicíta; podemos tentar algum método numérico, mas nem o mais moderno computador consegue resolvê-lo sem simplificações adicionais.

Apenas versões bastante simplificadas das equações de Navier-Stokes possuem solução exata. Por exemplo, como no exemplo da figura abaixo, podemos supor que o escoamento se dá apenas na direção y (ou seja, u e w são iguais a 0) e que, com escoamento pleno, a velocidade em y depende apenas de x, isto é, v = v(x). ‘Aí fica fácil’, diria Joãozinho. Pois é. Mas aí surgem outros problemas: as placas são infinitas? Como levar em conta a formação de vórtices nas bordas?

Nesse exemplo nem sequer falamos em temperatura. Transferência de calor por convecção é um inferno (no pun intended) e depende incertamente de valores que por si só já são difíceis de obter, como os mostrados acima. Como vocês imaginam, então, que deve ser a modelagem de correntes oceânicas ou de ar, em que nenhuma ou poucas das simplificações mencionadas aqui são aceitáveis, e para as quais não podemos contar com uma geometria bacaninha pra guiar o escoamento? E a incidência de radiação solar? E a influência das nuvens? E…

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Cientistas Cristãos (2)

6. Nicolaus Copernicus (1473-1543)

Copérnico, sendo católico, foi o primeiro astrônomo a formular a teoria do heliocentrismo (De revolutionibus orbium coelestium, 1543). Assim como Galileu depois dele, Copérnico foi recebido com entusiasmo em Roma por suas teorias. A principal hipótese dele, porém, estava errada: o sol não é o centro do universo, é o centro do sistema solar apenas.

7. Galileu Galilei (1564-1642)

Ver aqui.

8. Blaise Pascal (1623-1662)

Pascal ainda é, creio eu, considerado o pai da teoria de jogos ou teoria das probabilidades. Na física, a contribuição principal foi na hidrostática, com o chamado princípio de Pascal: uma pressão aplicada a um fluido incompressível é transmitida integralmente para o restante do fluido (princípio da prensa hidráulica). Em meios não-científicos, ele é principalmente lembrado pela aposta de Pascal (Pascal’s wager), que consiste em afirmar que, Deus existindo ou não, é sempre preferível acreditar que Ele existe. O ceticismo moderno mal consegue esconder sua revolta contra esse tipo de raciocínio.

9. Isaac Newton (1643-1727)

Está claro que Newton dispensa apresentações. O que nem todo mundo sabe é que ele se dedicava a experimentos de alquimia a à religião tanto quanto à mecânica. Também estudou óptica por muito tempo, e é natural que tivesse uma explicação mecanicista para o fenômeno da luz (a qual, para ele, era formada por pequenas partículas que eram desaceleradas ou aceleradas ao serem refratadas para um meio mais ou menos denso). A resistência que a teoria ondulatória da luz teve de enfrentar deve-se, em parte, ao grande prestígio de Newton.

10. Max Planck (1858-1947)

É considerado o fundador da teoria quântica (e um dos últimos a acreditar nela). Estudando a radiação emitida por um corpo negro, Planck chegou à conclusão de que a energia devia ser quantizada, mas preferiu assumir que sua análise estava errada a admitir essa hipótese. Só mudou de idéia mais tarde. Na expressão matemática utilizada para calcular a energia de um fóton (E = hf), aparece h, a constante de Planck. A mesma constante (só que reduzida) também aparece no cálculo de incertezas no princípio da incerteza de Heisenberg.

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Cientistas Cristãos (1)

As figuras que vão abaixo são todas muito conhecidas, mas o fato de serem cristãos aparece com alguma surpresa. O exemplo mais característico é o de Leibniz, que só é lembrado entre o populacho por ter inventado o cálculo e por uma caricatura grotesca de autoria do Voltaire. Depois de cada blurb vou colocar uma citação do sujeito que relacione a ciência a algum princípio cristão.

1. Gottfried Leibniz (1646-1716)

Não sei até que ponto isso é surpreendente, mas foi Leibniz quem inventou o sistema binário de números. Isso faz com que ele possa ser chamado, para usar o termo predileto dos historiadores da ciência, de pai da engenharia de computação. As contribuições à engenharia mecânica são várias: projetou bombas e prensas hidráulicas, submarinos, relógios, máquinas a vapor etc. Esse pessoal mais antigo ficava entediado e ia construir pirâmides. É assombroso. Quanto ao cálculo: a notação que usamos hoje para diferencial, integral etc. foi invenção de Leibniz. Não se trata apenas de uma notação, mas de um método (em oposição ao método geométrico de Newton). O resultado é que praticamente não há grandes contribuições ao cálculo vindo de anglo-saxônicos (excetuando Taylor e Maclaurin) durantes os séculos 17 e 18.

In whatever manner God created the world, it would always have been regular and in a certain general order. God, however, has chosen the most perfect, that is to say, the one which is at the same time the simplest in hypothesis and the richest in phenomena.

2. James Prescott Joule (1818-1889)

A idéia de ver calor como uma forma de energia parece óbvia hoje, como usualmente ocorre com as grandes descobertas. A coisa é de tal importância que o Joule passou a ser uma unidade derivada do sistema internacional de unidades (SI), a unidade de energia.

After the knowledge of, and obedience to, the will of God, the next aim must be to know something of His attributes of wisdom, power, and goodness as evidenced by His handiwork.

3. Johannes Kepler (1571-1630)

O trabalho de Kepler foi muito mais de observação (e de paciência) do que propriamente analítico. As chamadas três leis de Kepler (não podem ser chamadas de leis, mas isso é outro assunto) — formato das órbitas, tempo/área de varredura e relação entre período e eixo de órbita — só vieram a ser demonstradas matematicamente com o advento da dinâmica de Newton. Parece que ninguém mais que o Kepler levou a sério essa disposição de observar, e com isso aprender algo da, obra divina.

Great is God our Lord, great is His power and there is no end to His wisdom. Praise Him you heavens; glorify Him, sun and moon and you planets. For out of Him and through Him, and in Him are all things… We know, oh, so little. To Him be the praise, the honor and the glory from eternity to eternity.

4. Michael Faraday (1791-1867)

Diferentemente do Kepler, cujo mérito maior foi de observação empírica, Faraday teve insights teóricos que soam ainda mais impressionantes se levamos em conta que a matemática da época era bem limitada e que mesmo dessa matemática ele conhecia pouco. A lei da indução magnética de Faraday (que é uma das quatro equações de Maxwell) é, segundo consta, uma das leis de mais difícil ‘visualização’ na Física, ainda que se disponha de um ferramental matemático adequado. Menos conhecidas são suas contribuições como químico: descobriu o benzeno (o velho benzeno) e mexia com polímeros.

Speculations? I have none. I am resting on certainties. ‘I know whom I have believed and am persuaded that He is able to keep that which I have committed unto Him against that day.’

5. James Clerk Maxwell (1831-1879)

Maxwell conseguiu sintetizar o eletromagnetismo inteiro em quatro equações simples (lei de Gauss, lei de Gauss para o magnetismo, lei da indução de Faraday e lei circuital de Ampère). Tudo sai daí. Lembra aquela expressãozinha para refração de um raio de luz entre meios com índice de refringência diferentes? Era empírica até ser demonstrada por uma equação de Maxwell (Snell, então, era uma espécie de Kepler da óptica geométrica). A primeira fotografia colorida (apresentada por ele mesmo na Royal Institution) foi possível graças a contribuições suas à análise de cores. On top of that, mexia com termodinâmica estatística (que é a que deve ser utilizado se quisermos resultados realmente precisos) e é considerado o pai da teoria de controle.

Almighty God, Who has created man in Thine own image, and made him a living soul that he might seek after Thee, and have dominion over Thy creatures, teach us to study the works of Thy hands, that we may subdue the earth to our use, and strengthen the reason for Thy service; so to receive Thy blessed Word, that we may believe on Him Who Thou has sent, to give us the knowledge of salvation and the remission of our sins. All of which we ask in the name of the same Jesus Christ, our Lord.

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Zenão de Eléia

Um dos ‘paradoxos’ mais conhecidos do pré-socrático Zenão de Eléia parte do seguinte enunciado:

Considere a seguinte situação baseada num dos paradoxos de Zenão de Eléia, filósofo grego do século V A.C. Suponha que o atleta Aquiles e uma tartaruga apostam uma corrida em linha reta, correndo com velocidades constantes V(a) e V(t), com V(a) maior que V(t). Como a tartaruga é mais lenta é-lhe dada uma vantagem inicial, de modo a começar a corrida no instante t = 0 a uma distância d(1) na frente de Aquiles. Calcule os tempos t(1), t(2), t(3), … que Aquiles precisa para percorrer as distâncias d(1), d(2), d(3), …, respectivamente, sendo que d(n), n maior ou igual a 2, denota a distância entre a tartaruga e Aquiles assim que Aquiles atinge a posição ocupada pela tartaruga na situação anterior.

O paradoxo consistiria no fato de que quando Aquiles tiver percorrido d(1), a tartaruga já terá avançado um d(2) (ainda que bem menor que d(1)). Quando Aquiles chegar à posição d(1) + d(2), a tartaruga já estará d(3) à frente, e assim sucessivamente, de maneira que poderíamos concluir que Aquiles, nada obstante seu porte atlético e donairoso, jamais conseguirá alcançar a tartaruga.

Como pede o enunciado, passamos a calcular os tempos t(1), t(2), t(3), … :

t(1) = d(1)/V(a)

Nesse mesmo intervalo, a tartaruga percorre d(2) = V(t).t(1) = V(t).d(1)/V(a)

t(2) = d(2)/V(a), ou seja, t(2) = V(t).d(1)/V(a)2

Nesse mesmo intervalo, a tartaruga percorre d(3) = V(t).t(2) = d(1).V(t)2/V(a)2

Por indução vulgar, chega-se a t(n) = d(1).V(t)n-1/V(a)n, o que significa dizer que a série dos tempos é um progressão geométrica infinita de razão q = V(t)/V(a) (que é menor que 1 pois V(t) é menor que V(a)). Como a soma da P. G. infinita é dada por S = t(1)/1-q, chegamos a S = d(1)/[V(a)-V(t)]. Essa soma representa o tempo gasto por Aquiles para alcançar a tartaruga e, sendo ele finito, o paradoxo desaparece. A mentalidade moderna acompanha a resolução desse exercício sem perceber a origem do ‘paradoxo’: a noção de que um somatório infinito de termos positivos pode convergir para um valor finito.

Pode-se objetar que todos os paradoxos propostos por Zenão caem por terra assim que se introduz o conceito de continuidade (por exemplo, a linha da corrida de Aquiles é um contínuo de pontos, e não um aglomerado discreto de pontos), mas ele não só sabia disso como era precisamente isso que ele procurou mostrar. A intenção de Zenão não era propriamente defender os argumentos de seu mestre Parmênides, mas sim ridicularizar os pressupostos da escola rival, a escola pitagórica, segundo a qual toda a realidade é composta por unidades discretas. O paradoxo acima mostra que se isso fosse verdade Aquiles jamais seria capaz de alcançar uma mísera tartaruga.

Prova de que a discussão não é ociosa é a atenção que lhe deu ninguém menos que Aristóteles, ao discutir o conceito de infinito na Física. Frederick Copleston, no primeiro volume de sua A History of Philosophy, resume a questão:

Though Aristotle rejected an existent actually infinite body or number, he admitted the infinite in another sense. The infinite exists potentially. For example, no spatial extension is an actual infinite, but it is potentially infinite in the sense that it is infinitely divisible. A line does not consist of an actual infinite of points, for it is a continuum (it is in this way that Aristotle attempts, in the Physics, to meet the difficulties raised by Zeno the Eleatic), but it is infinitely divisible, though this potentially infinite division will never be completely realised in actuality. Time, again, is potentially infinite, since it can be added to indefinitely; but time never exists as an actual infinite, for it is a successive continuum and its parts never coexist. Time, therefore, resembles spatial extension in being infinitely divisible (though no actual infinity is ever realised), but is also potentially infinite by way of addition, and in this it differs from extension, since extension, according to Aristotle, has a maximum, even if it has no minimum. A third potential infinity is that of Number, which resembles time in being potentially infinite by way of addition, since you cannot count up to a number beyond which all counting and addition is impossible. Number, however, differs from both time and extension in being insusceptible of infinite division, for the reason that it has a minimum – the unit.

E bastaria que se falasse em números racionais para que a noção de Número também se tornasse potencialmente infinita by way of division.

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Questãozinha

Três prisioneiros são informados pelo carcereiro (que não mente) que um deles foi escolhido aleatoriamente para ser executado, e que os outros dois serão liberados. Privadamente, o prisioneiro A pergunta ao carcereiro qual de seus colegas será liberado, argumentando que essa informação é irrelevante desde que se conhece que ao menos um dos dois será liberado. O carcereiro recusa-se a responder tal questão pois se A conhecesse qual de seus companheiros será liberado, a sua própria probabilidade de ser executado passaria de 1/3 para 1/2 pois seria um dos dois prisioneiros restantes. O que você pensa sobre o argumento do carcereiro?

Bom, a resolução formal, apesar de simples, exige conhecimentos de probabilidade condicional. A argumentação do carcereiro está errada porque a probabilidade de A ser executado continua sendo 1/3, como de início, e a do que não for liberado da dupla (B ou C) passa a ser 2/3. Uma maneira de “enxergar” isso: B e C respondiam, inicialmente, por 2/3 de probabilidade de execução. Uma vez que se sabe que um deles será liberado, a ‘contribuição’ de probabilidade desse um passará para o outro da dupla.

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A Idéia Científica

And, whenever obsession by a given pattern causes a given writer to interpret the facts too artificially, to fill the gaps in his knowledge too smoothly, without sufficient regard to the empirical evidence, other historians will instinctively perceive that some kind of violence is being done to the facts, that the relation between evidence and interpretation is in some way abnormal; and that this is so not because there is doubt about the facts, but because there is an obsessive pattern at work.

Como ilustração de uma idéia rigorosamente científica, pede-se demonstrar que a raiz quadrada de 2 é um número irracional. Qualquer dançarina de forró, sabendo o que é um número racional, percebe intuitivamente que raiz de 2 (ou de 3, 5, 6, 7, 8, 10 etc.), é um número irracional: afinal, como escolher dois números naturais e primos entre si m e n tais que m/n = 21/2 ? Se é a escolha desses dois números que nos parece difícil, tudo indica que devemos partir precisamente desse resultado e, através de um reductio ad absurdum, chegar à conclusão de que o número é com efeito irracional. Então:

1) Supomos que raiz de 2 é racional, isto é, 21/2 = m/n, com m e n naturais e primos entre si (isto é, m e n não têm fatores comuns).

2) Multiplicando por n e elevando ambos os lados da equação ao quadrado, chegamos a 2n2 = m2. O termo da esquerda é par porque contém o fator 2, e o da direita tambem o é porque é igual ao da esquerda. Se m2 é par, m também é (essa proposição pode ser facilmente demonstrada, mas é bem intuitiva) e, portanto, m pode ser expresso na forma m = 2k, k natural.

3) Substituindo m = 2k na equação de (2), chegamos a 2n2 = 4k2, isto é, n2 = 2k2. Pela mesma argumentação de (2) concluimos que n é par.

4) Chegamos a um absurdo: m e n são pares (têm pelo menos um fator 2 em comum), apesar da restrição inicial segundo a qual eles deveriam ser primos entre si. O erro está necessariamente na suposição de que raiz de 2 é racional, o que não nos deixa outra saída além de concluir que raiz de 2 é irracional.

A argumentação acima é um exemplo clássico do determinismo inerente ao raciocício matemático. O que não é racional é irracional; na eventualidade de um resultado inesperado (ou simplesmente incoerente), sabemos exatamente onde se encontra o erro. O matemático parte de um resultado conhecido e, respeitando algumas regras internas, prossegue freneticamente, com um solene desprezo por tudo que não diz respeito ao universo matemático: a fome dos camponeses chineses e o derretimento das calotas polares lhe são, com muita razão, indiferentes. Por mais que haja dúvidas, sabemos com um mínimo de precisão onde se encontram as explicações, caso elas existam. Até no momento de reconhecer seu próprio fracasso a matemática é avassaladora: o seguinte teorema prova que não existem soluções para essa equação, aquele outro deixa patente que não há primitivas para aquela função. Em suma: trata-se de um universo maciço (ainda que não possamos ver, hoje, todas as partes) e coeso e independente, e não chega a surpreender que queiram estender essa exuberância formal e inclusiva a outras áreas do conhecimento.

Isaiah Berlin, num dos ensaios do The Proper Study of Mankind (de que falarei mais diretamente em outros posts), aponta essas e outras peculiaridades do campo das ciências naturais numa tentativa de mostrar a inconsistência subjacente à idéia de estender o rigor determinístico da matemática às ciências sociais ou humanas. Figuras da importância de Hegel, Comte, Taine, Spengler etc. julgaram entrever o elo que ligaria esses dois ramos tão distintos do conhecimento. Aplicações diretas dessa suposição levam invariavelmente a resultados bem caricatos: há pouco falávamos de Weber e, se o alemão aceitasse semelhante idéia, seríamos obrigados a ler conclusões do tipo ‘João converteu-se ao Calvinismo e, portanto, é hoje um capitalismo milionário’, ou ‘José continua pobre e letárgico porque sofre de alguma grave moléstia mental, de vez que se converteu ao Calvinismo há tempos.’

Mais surpreendente que o fato de não poucas pessoas entenderem a história como uma ciência exata é o esforço imaginativo que muitos despenderam na tentativa de demonstrar essa visão. Já vimos, com Spengler, o quanto a ‘demonstração’ de uma tese que nos parece despropositada (ou até ridícula) pode ser interessante por motivos completamente alheios à tese propriamente dita. Que mentes tão iluminadas tenham se dedicado com tanto afinco a idéias tão anti-empíricas e carentes, muitas vezes, de qualquer consistência interna, parece ser consequência de uma confiança excessiva na própria inteligência. O homem ordinário simplesmente desistiria no meio do caminho e atribuiria os resultados absurdos a alguma inconsistência que ele mesmo não é capaz de discernir. Spengler e congêneres, na tentativa de divisar uma ciência única e totalizante, acabam adotando a postura do matemático: fecham-se num universo que eles supõem completo e coeso e nem sequer se constrangem com as excentricidades que lhe aparecem, dado que elas sejam consequência da aplicação rigorosa de alguns poucos preceitos axiomáticos. Não lhes ocorre que até mesmo Euclides desconfiava de seus postulados.

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O Problema da Indução

O Princípio da Indução Finita (PIF) é um artifício comumente empregado quando se quer demonstrar um resultado previamente conhecido. É um procedimento que, mesmo restrito à matemática, causa certa estranheza aos não-iniciados. Prova-se uma propriedade por indução quando essa propriedade é válida para o caso inicial (n = 1) e quando a suposição de que é também válida para um caso genérico (n = k) nos leva à validade do caso seguinte (n = k + 1). Se k = 1, a validade do primeiro caso (que é verificável ou dado) nos leva à validade do segundo. A partir do segundo chegamos ao terceiro, e assim por diante. Exemplo: quer-se mostrar por indução a seguinte identidade: ln(an) = n . ln(a).

(i) A identidade é verdadeira para n = 1 pois está claro que ln(a1) = ln(a) = 1 . ln(a).

(ii) Suponhamos que ela é verdadeira para n = k, isto é: ln(ak) = k . ln(a).

(iii) Vejamos o que acontece com o caso seguinte, partindo do lado esquerdo da igualdade: ln(ak+1) = ln(ak . a) = ln(ak) + ln(a) = k . ln(a) + 1 . ln(a) = (k + 1) . ln(a).

Usamos apenas a propriedade do produto de logaritmandos [ ln(a . b) = ln(a) + ln(b) ] e a suposição enunciada em (ii). Chega-se, assim, à conclusão de que a identidade é válida para qualquer n. Até aqui, tudo muito simples e intuitivo. Começam a surgir problemas quando se quer estender essa noção indutiva à filosofia. A conexão parece óbvia: se a força gravitacional funcionou hoje, ontem e sempre, funcionará também amanhã. Ocorre que esse raciocínio não resiste nem à análise puramente matemática da coisa. Provemos, por indução, que a gravidade funcionará amanhã. O caso inicial é verdadeiro, já que percebo claramente que ela está a funcionar hoje. Suponhamos o mesmo para um dia genérico k. O que me permite concluir que ela estará intacta no dia k + 1? Nada. Quando muito, a probabilidade, mas nesse caso já teríamos deixado há muito o campo rigoroso da demonstração analítica.

O tratamento que Karl Popper dá à idéia de ciência reflete exatamente essa rejeição ao inducionismo. Só poderá ser ciência aquilo que admitir sua própria falibilidade. Não deixa de ser curioso que a mente científica, indissoluvelmente associada à busca da verdade, seja assim pautada pela possibilidade mesma da ausência de verdade; pelo engano, pela ‘mentira’. Nesse sentido, a física corpuscular de Newton é genuinamente científica porque resguardou a possibilidade de sua própria ‘destuição’: enunciou arbitrariamente coisas que mais tarde se revelariam falsas ou apenas parcialmente verdadeiras. A contribuição de Einstein não é menos científica: parte do pressuposto, questionabilíssimo, de que a velocidade da luz independe do referencial tomado, além de valer, no máximo, aproximadamente 3.108 m/s. Toda a Relatividade está construída em cima disso.

Essa confusão entre inducionismo e ciência pode levar a erros constrangedores. O comentário que Gustavo Corção faz sobre uma tese de Euryalo Cannabrava é bem ilustrativo:

Um curioso exemplo da falta de precisão científica em que incide certa espécie de filosofia cientificista, pode ser colhido na página setenta e quatro da tese que o Sr. Euryalo Cannabrava apresentou no seu concurso. Depois de muitas considerações tortuosas sobre a diferença que existe entre a linguagem científica e a linguagem poética, diz ele o seguinte:

“Cabe aqui perguntar se a frase “L’Amore que muove il sole e l’altre stelle” poderá ser considerada uma proposição. A fim de responder a essa pergunta, é necessário resolver preliminarmente se o seu enunciado será falso ou verdadeiro. Sob o ponto de vista da linguagem científica “L’Amore que muove il sole e l’altre stelle” se considera falso. o que move o sol e as estrelas não é o amor, mas o que está expresso na lei de Kepler, de acordo com a qual os astros descrevem, na sua órbita, uma elipse de que o sol ocupa um dos focos.”

Diz o autor que não é o amor que move o sol e as estrelas, é o que está expresso na lei de Kepler. Ora, essa proposição, apesar das aparência, é muito menos científica do que o verso de Dante. Essa proposição é falsa. As leis de Kepler exprimem apenas como se movem os astros e não o que os move. Quando o grande astrônomo enuncia que os planetas descrevem elipses em que os quadrados dos tempos de revolução são proporcionais aos cubos dos eixos maiores, a causa eficiente, aquilo que move, não entra de modo algum em seu enunciado. E basta esse pequeno detalhe para me autorizar a dizer que a frase “o que move o sol e as estrelas é o que está expresso na lei de Kepler…” seria admissível na boca de um desprevenido bombeiro hidráulico que acabasse de ler o último número de Seleções, mas é imperdoável na tese de um candidato à cátedra de filosofia. Essa frase revela um irrecuperável escript de lourdeur, uma absoluta ausência de precisão cientifica, e sobretudo uma total incapacidade filosófica.

Se o autor daquela frase tivesse dito “leis de Newton” em lugar de leis de Kepler, o erro de sua proposição seria menos aparente, porque aquelas leis, embora ainda sejam expressões de modalidade, incluem uma referência à causa próxima da interação dos corpos celestes. Os corpos se atraem na proporção direta das massas e na inversa do quadrado das distâncias. Cinqüenta anos depois do grande Kepler, o imenso Newton virá dar maior unidade à mecânica celeste. Mas ainda não se pode dizer com propriedade que o que move o sol e as estrelas é o que está expresso na equação de Newton. A gravitação universal é um fato físico, e a lei de Newton descreve como agem os corpos dentro dessa realidade física que em si mesma é distinta dos símbolos matemáticos. A realidade das causas mais profundas que movem os astros escapa ao tratamento matemático e pertence ao domínio propriamente filosófico pelo qual o Sr. Cannabrava nutre tamanha aversão. Posso convir que uma pessoa seja agnóstica e que leve seu positivismo até o ponto de se desinteressar pelas causas profundas. Neste caso, porém, deve dizer: eu não sei o que é que move os astros, só sei que eles se movem assim…

As ‘leis’ de Kepler, louváveis como são, representam um exercício de simples inducionismo: um exercício de encontrar um modelo que esteja de acordo com as observações experimentais, ainda que não se tenha idéia da causa física por trás do modelo. A descrição de Newton vai além porque insere elementos fisicamente palpáveis (massa, distância), e é nesse sentido que se pode dizer que as leis de Newton ‘demonstram’ as leis de Kepler. Mas, se as leis de Kepler são realmente leis, por que precisam de demonstração? O termo é evidentemente inadequado para o caso de Kepler, mas não é tão simples perceber que tampouco serve para o de Newton. Culpem o inducionismo.

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O Problema da Ciclóide

Cognominada a “Helena dos Geômetras” por ter causado muita discussão durante o século XVII, eis que surge a ciclóide, já “domada”, na forma de um desafio proposto, em 1696, pelo matemático suíço Johann I Bernoulli (1667-1748) (porque houve também um Johann II Bernoulli). O desafio consistia em determinar a curva sobre a qual uma massa pontual deslizaria, partindo do repouso e acelerada apenas pela gravidade (desconsidera-se o atrito), de um ponto para outro ponto situado num nível abaixo do primeiro no menor tempo possível.

I, Johann Bernoulli, address the most brilliant mathematicians in the world. Nothing is more attractive to intelligent people than an honest, challenging problem, whose possible solution will bestow fame and remain as a lasting monument. Following the example set by Pascal, Fermat, etc., I hope to gain the gratitude of the whole scientific community by placing before the finest mathematicians of our time a problem which will test their methods and the strength of their intellect. If someone communicates to me the solution of the proposed problem, I shall publicly declare him worthy of praise.

A solução, já então conhecida por Bernoulli, é um segmento cicloidal.

Em 1638 Galileo já havia estudado o problema e chegado a uma conclusão incorreta: segundo ele, a solução para o problema da braquistócrona (do grego brachistos, menor; chronos, tempo) seria um arco de circunferência. Leibniz, L’Hospital, os irmãos Bernoulli (Johann e Jakob) e Newton, chegaram, todos eles, a soluções corretas, sendo que, segundo consta, Newton teria publicado sua solução, anonimamente, um dia após o desafio ter sido feito. Apesar do anonimato, Bernoulli reconheceu logo que se tratava de Newton: segundo o suíço, era a solução mais “elegante e engenhosa.” Realmente, a solução não é das mais complicadas se usarmos o cálculo, à epoca quase que propriedade exclusiva de Newton e Leibniz. Bernoulli, por exemplo, resolveria o problema usando uma situação análoga: um raio de luz atravessando meios transparentes com índices de refringência crescentes ou decrescentes.

O mais impressionante sobre a ciclóide é a riqueza de propriedades (a de braquistócrona é apenas uma delas), algumas delas tão ‘fortes’ que aparentam ser, em primeira análise, uma extrema coincidência. O particular que viria a chamar a atenção de Herman Melville é o da tautocronia, como atesta a seguinte passagem do seu Moby Dick:

[The try-pot] is also a place for profound mathematical meditation. It was in the left-hand try-pot of the Pequod, with the soapstone diligently circling round me, that I was first indirectly struck by the remarkable fact, that in geometry all bodies gliding along a cycloid, my soapstone, for example, will descend from any point in precisely the same time.”

Essa propriedade, descoberta pelo físico holandês Christiaan Huygens (1629-1695) (o mesmo da teoria ondulatória da luz) e publicada em seu Horologium oscillatorium de 1673, garante o que é descrito, em relação ao seu sabonete, por Melville: não importa se largamos um objeto da extremidade superior da curva ou um de um ponto com metade da altura; em ambos os casos, o objeto chegará no ponto mais baixo da trajetória depois de um mesmo intervalo de tempo. Mesmo depois de tanto tempo, a Helena dos geômetras ainda tem seu charme.

Arquivado em:Física, Matemática

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"All differences of opinion are at bottom theological." Cardinal Manning (1808 - 1892)
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